Тема урока: Применение прогрессий.
Цели урока: показать связь между арифметической и геометрической прогрессией; познакомить ребят с историческими событиями и открытиями; показать возможности использования прогрессий при решении различных заданий.
Форма урока: Историческое путешествие.
Подготовка к уроку: учитель с участниками математического кружка готовит исторические миниатюры, подбирает различные по условиям задания, в решении которых применяется знание прогрессий.
Ход урока:
Над доской выписано изречение А.С. Пушкина: «Вдохновение нужно в геометрии, как и в поэзии».
На доске записано: «Прогрессио – движение вперед»
Учитель. Вы изучали две прогрессии – арифметическую и геометрическую. Вспомним сразу оба их определения:
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же числом, называется арифметической прогрессией |
Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же число, называется геометрической прогрессией |
Всмотритесь, насколько похожи определения (то чем они различаются подчеркнуто). Надо только заменить сложение умножением, или наоборот и из одной прогрессии получим другую. Родство прогрессий становится еще более заметным, если вспомнить их характеристические свойства:
Любой член арифметической прогрессией, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов. |
Любой член геометрической прогрессией, начиная со второго, является средним геометрическим |
Убедимся в этом еще раз, рассматривая некоторые формулы, относящиеся к прогрессиям:
Формула -го члена прогрессии |
Характеристическое свойство прогрессии |
Ученик 1. Сами по себе прогрессии известны так давно, что конечно, нельзя говорить о том, кто их открыл. Ведь уже натуральный ряд есть арифметическая прогрессия с первым членом, равным 1, и разностью, тоже равной 1. О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат. Рассказывают, что индийский принц Сирам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат: за первую клетку шахматной доски – одно зерно, за вторую – два, за третью – четыре, за четвертую – восемь и так до 64-го поля. Здесь явная геометрическая прогрессия с первым членом, равным 1, и знаменателем, равным 2.
Ученик 2. На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий Архимед. В печати же эти мысли отчетливо прозвучали лишь в 1544 г., когда вышла книга немецкого математика Михаила Штифеля «Общая арифметика». Штифель составил такую таблицу:
-4 | -3 |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
1 |
2 |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
128 |
В верхней строчке написана арифметическая прогрессия с разностью 1. В нижней строчке – геометрическая прогрессия со знаменателем 2.
Пример №1. Надо умножить на 128. Обращаем внимание, что в таблице над написано -1, а над 128 написано 7. Сложим эти числа, получим 6, а под шестеркой читаем 64. Это и есть искомое произведение.
Пример №2. Разделим 32 на 8. Обращаем внимание, что в таблице над 32 написано 5, а над 8 написано 3. Вычтем эти числа 5-3, получим 2, а под двойкой читаем 4. Это и есть искомое частное.
Ученик 3. Если вспомнить тождества и , то нижнюю строчку таблицы Штифеля можно переписать так:
1 |
2 |
4 |
8 |
16 |
32 |
64 |
128 |
||||
Теперь можно увидеть, что если показатели степени составляют арифметическую прогрессию, то сами степени составляют геометрическую прогрессию. Заметим, что с помощью таблицы можно возводить в степень и извлекать корни. Например, чему равно 43? Против 4 читаем 2, умножаем 2 на 3, получаем 6, против 6 читаем 64, значит, 43 = 64. А чему равен корень четвертой степени из 256? Делим 8 на 4, против 2 читаем 4, значит, (такие числа мы будем изучать).